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定期的におカネを積み立てたら、●年後にはいくらになる?【年金終価係数の原理】

例えば、

毎年年末に50万円ずつ銀行に積み立てるとします。

年利1%で運用すると20年後には、
(元利合計は)いくらになるでしょうか。

FP(ファイナンシャルプランナー)の
勉強をしたことがある人であれば、
“年金終価係数”の表を用いて、次のように計算できます。

定期積立額 ד年金終価係数”
=50万円 × 22.02
=1,101万円

141029_年金終価係数

実際の試験では係数表が与えられているので、
表から該当の係数を選んで掛ければ、
点数はもらえます。

係数表を使えれば、日常生活でもあまり困ることはないでしょう。

ただ、この係数がどうやって導き出されるのかを
一度くらいは理解しておいてもよいのではないでしょうか。

さもないと、係数自体がブラックボックス
になってしまいますからね。

ということで、このケースを用いて、
年金終価係数の原理について考えてみます。

▼1年目に積み立てた50万円

1年目の末に50万円積み立てます。
この50万円は、19年間、年利1%で運用します。

満期時の元利合計
=50万円×(1+1%)^19

▼2年目に積み立てた50万円
2年目の末にまた50万円積み立てます。
この50万円は、18年間、年利1%で運用します。

満期時の元利合計
=50万円×(1+1%)^18

3年目以降もこれを繰り返して・・・

▼19年目に積み立てた50万円
2年目の末にもまた50万円積み立てます。
この50万円は、1年間、年利1%で運用します。

満期時の元利合計
=50万円×(1+1%)^1

▼20年目に積み立てた50万円
2年目の末にもまた50万円積み立てます。

この50万円は、積み立てた時点で
満期を迎えることになります。

満期時の元利合計
=50万円

さて、トータルでいくらになっているでしょうか。

1年目末に積み立てた50万円の19年後の元利合計
2年目末に積み立てた50万円の18年後の元利合計
3年目末に積み立てた50万円の17年後の元利合計



19年目末に積み立てた50万円の1年後の元利合計
20年目末に積み立てた50万円の0年後の元利合計

の総合計ですね。

以下の様な計算式になります。

総合計①
={50万円×(1+1%)^19} + {50万円×(1+1%)^18} + {50万円×(1+1%)^17}+・・・・+{50万円×(1+1%)^1} + 50万円

=50万円{(1+1%)^19+(1+1%)^18+(1+1%)^17+・・・+(1+1%)^1+(1+1%)^0}
カッコの中は、初項1、公比(1+1%)の等比数列の和になっていますね。
これはどうやって計算するでしょうか。

これを計算するには、もう一つ、
総合計①に(1+1%)を掛けたものをつくります。

総合計②
=総合計①×(1+1%)
=50万円{(1+1%)^20+(1+1%)^19+(1+1%)^18+・・・+(1+1%)^2+(1+1%)^1}

ここまでできたら、②から①を引きます。

すると、同じ項がありますから、
それぞれ打ち消しあっていきます。

{(1+1%)―1}× 総合計① =50万円×{(1+1%)^20-1}

これを整理すると・・・

総合計① =50万円×{(1+1%)^20-1}/ 1%

上記計算式の太字のところが、
年金終価係数になっている
というわけですね。

一般化して、言葉の式で書くとこうなります。

年金終価係数
={(1+年利)^年数―1}/年利

では、本当にそうなっているか、
確かめてみましょう。

年金終価係数
=(1+1%)^20年 -1 /1%
=22.02

ちゃんとなっていましたねv。

年金終価係数を算出するのに、
高校の時に習った等比数列の和の考え方を
用いています。

数学って大人になってからも考え方として
役立つことがあるのですね。

ではまた。

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